【z变换求单位脉冲响应的公式】在数字信号处理中，系统分析是一个重要的研究方向。其中，单位脉冲响应是描述线性时不变（LTI）系统特性的重要参数。通过z变换方法，可以方便地求解系统的单位脉冲响应。本文将总结z变换用于求解单位脉冲响应的相关公式，并以表格形式进行清晰展示。
一、基本概念
- 单位脉冲响应：系统对单位脉冲信号δ[n]的响应，记为h[n]。
- z变换：一种将离散时间信号从时域转换到复频域的方法，定义为：
$$
X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}
$$
- 系统函数H(z)：系统对输入信号的z变换与输出信号的z变换之比，即：
$$
H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}
$$
二、z变换求单位脉冲响应的步骤
1. 确定系统函数H(z)：根据系统的差分方程或结构图，写出H(z)。
2. 求H(z)的逆z变换：得到h[n]，即单位脉冲响应。
3. 利用部分分式展开或查表法：简化H(z)，便于求逆z变换。
三、常用z变换对及逆变换公式
| 序号 | 时域信号 h[n] | Z变换 H(z) | 收敛域（ROC） | ||||
| 1 | δ[n] | 1 | 全平面 | ||||
| 2 | u[n] | $\frac{z}{z - 1}$ | z | > 1 | |||
| 3 | a^n u[n] | $\frac{z}{z - a}$ | z | > | a | ||
| 4 | n a^n u[n] | $\frac{az}{(z - a)^2}$ | z | > | a | ||
| 5 | (-a)^n u[n] | $\frac{z}{z + a}$ | z | > | a |
四、典型方法总结
| 方法 | 适用情况 | 优点 | 缺点 |
| 部分分式分解 | H(z) 可分解为简单分式 | 易于查表 | 需要熟练掌握分解技巧 |
| 查表法 | H(z) 与标准形式一致 | 快速简便 | 依赖于已知变换对 |
| 长除法 | H(z) 为有理函数 | 直观 | 计算繁琐，适合低阶系统 |
| 留数法 | 复杂系统 | 准确 | 数学要求高 |
五、实例说明
假设系统函数为：
$$
H(z) = \frac{z}{z - 0.5}
$$
则其对应的单位脉冲响应为：
$$
h[n] = (0.5)^n u[n
$$
这可以通过查表得出，也可通过部分分式展开验证。
六、总结
通过z变换方法求解单位脉冲响应，是数字信号处理中的核心技能之一。掌握常见的z变换对和逆变换方法，能够有效提升系统分析和设计的能力。不同方法适用于不同场景，合理选择有助于提高计算效率和准确性。