问等差等比数列的求和公式是什么

【等差等比数列的求和公式是什么】在数学中，数列是按照一定规律排列的一组数。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型。它们的求和公式在实际应用中非常广泛，比如在金融计算、工程问题以及数学建模中都有重要用途。下面将分别介绍等差数列和等比数列的求和公式，并通过表格进行总结。

一、等差数列的求和公式

等差数列是指每一项与前一项的差为定值的数列，这个定值称为公差，记作 $ d $。设首项为 $ a_1 $，末项为 $ a_n $，项数为 $ n $，则其求和公式为：

$$

S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)

$$

或者也可以写成：

$$

S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d

$$

其中：

- $ S_n $ 是前 $ n $ 项的和；

- $ a_1 $ 是首项；

- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；

- $ d $ 是公差；

- $ n $ 是项数。

二、等比数列的求和公式

等比数列是指每一项与前一项的比为定值的数列，这个定值称为公比，记作 $ r $。设首项为 $ a_1 $，末项为 $ a_n $，项数为 $ n $，则其求和公式为：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

当 $ r < 1 $ 时，如果数列无限延伸（即无穷等比数列），其和为：

$$

S = \frac{a_1}{1 - r}

$$

其中：

- $ S_n $ 是前 $ n $ 项的和；

- $ a_1 $ 是首项；

- $ r $ 是公比；

- $ n $ 是项数。

三、总结表格

通过以上内容可以看出，等差数列和等比数列的求和公式各有特点，适用于不同的数学场景。掌握这些公式有助于快速解决实际问题，提高计算效率。