【高中数学不等式公式总结】在高中数学中，不等式是重要的基础知识之一，广泛应用于函数、数列、几何等多个领域。掌握常见的不等式公式及其应用方法，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。以下是对高中阶段常见不等式公式的系统总结，结合文字说明与表格形式，便于理解和记忆。
一、基本不等式
1. 绝对值不等式
-
-
-
-
2. 均值不等式（AM-GM 不等式）
对于任意正实数 a 和 b，有：
$$
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
$$
等号成立当且仅当 a = b。
3. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz 不等式）
对于任意实数 a₁, a₂, ..., aₙ 和 b₁, b₂, ..., bₙ，有：
$$
(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2
$$
等号成立当且仅当向量 (a₁, a₂, ..., aₙ) 与 (b₁, b₂, ..., bₙ) 成比例。
二、一元二次不等式
对于形如 ax² + bx + c > 0 或 < 0 的不等式，其解法主要依赖于判别式 Δ = b² - 4ac：
| 判别式 Δ | 解的情况 |
| Δ > 0 | 有两个不同实根，解集为 x < x₁ 或 x > x₂（若 a > 0）；x₁ < x < x₂（若 a < 0） |
| Δ = 0 | 有一个实根 x₀，解集为 x ≠ x₀（若 a > 0）；无解（若 a < 0） |
| Δ < 0 | 无实根，解集为全体实数（若 a > 0）；无解（若 a < 0） |
三、不等式组与线性规划
1. 不等式组的解法
将多个不等式同时满足的区域找出来，通常通过图像法或代数法进行分析。
2. 线性规划问题
在约束条件下求目标函数的最大值或最小值，常用图解法或单纯形法。
四、常见不等式公式汇总表
| 不等式类型 | 公式表达 | 适用条件 | 备注 | ||||||
| 绝对值不等式 | a ± b | ≤ | a | + | b | 实数 a、b | 三角不等式 | ||
| 均值不等式 | $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ | 正实数 a、b | 等号当 a = b 时成立 | ||||||
| 柯西不等式 | $(\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \geq (\sum a_ib_i)^2$ | 实数 a_i、b_i | 向量内积关系 | ||||||
| 一元二次不等式 | ax² + bx + c > 0 | 实数 a、b、c | 根据判别式判断解集 | ||||||
| 不等式组 | 多个不等式同时成立 | 任意实数 | 图像法或代数法求交集 | ||||||
| 线性规划 | max/min f(x,y) under constraints | 连续变量 | 用于优化问题 |
五、小结
不等式是高中数学的重要组成部分，理解并熟练运用各类不等式公式，不仅有助于解决实际问题，还能提升数学思维的严谨性和逻辑性。建议在学习过程中注重公式的推导过程和实际应用，避免死记硬背。通过多做练习题，逐步掌握各种不等式的解题技巧，提高综合应用能力。
希望这篇总结能帮助你更好地掌握高中数学中的不等式知识！