【七个分布的期望与方差】在概率论与数理统计中，常见的概率分布有多种，每种分布都有其对应的数学期望和方差。这些参数能够帮助我们理解随机变量的集中趋势和离散程度。本文将对七种常见分布的期望与方差进行总结，并以表格形式呈现。
一、二项分布（Binomial Distribution）
设随机变量 $ X \sim B(n, p) $，表示在 $ n $ 次独立重复试验中，事件发生的次数，每次成功的概率为 $ p $。
- 期望：$ E(X) = np $
- 方差：$ Var(X) = np(1 - p) $
二、泊松分布（Poisson Distribution）
设随机变量 $ X \sim P(\lambda) $，表示单位时间内某事件发生的次数，且事件发生是独立的。
- 期望：$ E(X) = \lambda $
- 方差：$ Var(X) = \lambda $
三、正态分布（Normal Distribution）
设随机变量 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，其中 $ \mu $ 为均值，$ \sigma^2 $ 为方差。
- 期望：$ E(X) = \mu $
- 方差：$ Var(X) = \sigma^2 $
四、均匀分布（Uniform Distribution）
设随机变量 $ X \sim U(a, b) $，在区间 $ [a, b] $ 上服从均匀分布。
- 期望：$ E(X) = \frac{a + b}{2} $
- 方差：$ Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12} $
五、指数分布（Exponential Distribution）
设随机变量 $ X \sim \text{Exp}(\lambda) $，表示事件发生的时间间隔，其中 $ \lambda > 0 $ 是速率参数。
- 期望：$ E(X) = \frac{1}{\lambda} $
- 方差：$ Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} $
六、几何分布（Geometric Distribution）
设随机变量 $ X \sim \text{Geo}(p) $，表示首次成功发生在第 $ k $ 次试验的概率，其中 $ p $ 为每次试验的成功概率。
- 期望：$ E(X) = \frac{1}{p} $
- 方差：$ Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} $
七、超几何分布（Hypergeometric Distribution）
设随机变量 $ X \sim H(N, K, n) $，表示从包含 $ K $ 个成功项的 $ N $ 个物品中抽取 $ n $ 个时，抽到成功项的数量。
- 期望：$ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $
- 方差：$ Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $
表格总结
| 分布名称 | 参数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 二项分布 | $ n, p $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ \lambda $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 | $ \mu, \sigma^2 $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 | $ a, b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 指数分布 | $ \lambda $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 几何分布 | $ p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1 - p}{p^2} $ |
| 超几何分布 | $ N, K, n $ | $ n \cdot \frac{K}{N} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} \cdot (1 - \frac{K}{N}) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
通过上述内容，我们可以清晰地了解七种常见概率分布的期望与方差，有助于在实际问题中快速判断随机变量的行为特征。