【三角变换所有公式大全】在数学学习中，三角函数及其变换是重要的基础知识之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握各种三角变换公式，有助于快速解题和深入理解三角函数的性质。以下是对常见三角变换公式的总结，并以表格形式进行清晰展示。
一、基本三角函数定义
| 名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 |
二、基本恒等式
| 公式 | 描述 |
| $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ | 基本恒等式 |
| $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ | 与正切相关 |
| $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ | 与余切相关 |
| $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $ | 奇函数性质 |
| $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ | 偶函数性质 |
| $ \tan(-\theta) = -\tan\theta $ | 奇函数性质 |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变化 | 公式 |
| $ \sin(\pi/2 - \theta) = \cos\theta $ | 余角公式 |
| $ \cos(\pi/2 - \theta) = \sin\theta $ | 余角公式 |
| $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $ | 补角公式 |
| $ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $ | 补角公式 |
| $ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta $ | 180°+θ公式 |
| $ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta $ | 180°+θ公式 |
四、和差角公式
| 公式 | 描述 |
| $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ | 正弦和差公式 |
| $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ | 余弦和差公式 |
| $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ | 正切和差公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 描述 |
| $ \sin(2A) = 2\sin A \cos A $ | 二倍角正弦 |
| $ \cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A $ | 二倍角余弦 |
| $ \cos(2A) = 1 - 2\sin^2 A $ | 二倍角余弦（另一种形式） |
| $ \cos(2A) = 2\cos^2 A - 1 $ | 二倍角余弦（第三种形式） |
| $ \tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} $ | 二倍角正切 |
六、半角公式
| 公式 | 描述 |
| $ \sin\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} $ | 半角正弦 |
| $ \cos\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $ | 半角余弦 |
| $ \tan\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} $ | 半角正切 |
| $ \tan\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sin A}{1 + \cos A} $ | 另一种形式 |
七、积化和差公式
| 公式 | 描述 |
| $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ | 积化和差 |
| $ \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) - \sin(A - B)] $ | 积化和差 |
| $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ | 积化和差 |
| $ \sin A \sin B = -\frac{1}{2} [\cos(A + B) - \cos(A - B)] $ | 积化和差 |
八、和差化积公式
| 公式 | 描述 |
| $ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ | 和差化积 |
| $ \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ | 和差化积 |
| $ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ | 和差化积 |
| $ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ | 和差化积 |
九、反三角函数公式（简要）
| 函数 | 公式 |
| $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $ | 互为补角 |
| $ \arctan x + \text{arccot} x = \frac{\pi}{2} $ | 互为补角 |
| $ \arctan x + \arctan y = \arctan\left( \frac{x + y}{1 - xy} \right) $ | 正切和角公式 |
总结
以上内容涵盖了常见的三角函数变换公式，包括基本恒等式、诱导公式、和差角、倍角、半角、积化和差、和差化积等。这些公式在解题过程中非常实用，建议在学习过程中反复练习和记忆，以便灵活运用。通过掌握这些公式，可以大大提升解决三角问题的效率和准确性。