【梯度下降法原理】梯度下降法是机器学习中用于优化模型参数的一种基础算法，广泛应用于线性回归、逻辑回归、神经网络等模型的训练过程中。其核心思想是通过不断调整模型参数，使得损失函数（或代价函数）尽可能小。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 目标函数（Loss Function） | 衡量模型预测值与真实值之间误差的函数，如均方误差（MSE）、交叉熵等。 |
| 梯度（Gradient） | 目标函数在某一点处的导数向量，表示函数增长最快的方向。 |
| 学习率（Learning Rate） | 控制参数更新步长的超参数，通常用η表示。 |
| 迭代次数（Iterations） | 梯度下降过程中的更新次数，决定算法运行时间。 |
二、梯度下降法原理总结
1. 初始化参数：随机选择一组初始参数值。
2. 计算梯度：根据当前参数计算目标函数的梯度。
3. 更新参数：沿着梯度的反方向（负梯度方向）更新参数，以减小目标函数值。
4. 重复迭代：反复执行步骤2和3，直到满足停止条件（如达到最大迭代次数或梯度接近零）。
三、梯度下降法的类型
| 类型 | 描述 | 优点 | 缺点 |
| 批量梯度下降（BGD） | 每次使用全部数据计算梯度 | 收敛稳定 | 计算量大，不适合大规模数据 |
| 随机梯度下降（SGD） | 每次使用一个样本计算梯度 | 计算快，适合大数据 | 震荡大，收敛不稳定 |
| 小批量梯度下降（MBGD） | 每次使用一小批数据计算梯度 | 平衡效率与稳定性 | 需要设置合适的批次大小 |
四、关键公式
- 参数更新公式：
$$
\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \cdot \nabla J(\theta_t)
$$
其中：
- $\theta$ 是模型参数
- $\eta$ 是学习率
- $\nabla J(\theta)$ 是目标函数 $J(\theta)$ 的梯度
- 梯度方向：梯度方向是函数上升最快的方向，因此我们总是沿负梯度方向进行参数更新。
五、注意事项
| 注意事项 | 说明 |
| 学习率选择 | 学习率过大可能导致不收敛，过小则收敛慢 |
| 初始值影响 | 不同的初始值可能影响最终结果 |
| 局部最优 | 在非凸问题中，可能陷入局部最小值 |
| 正则化 | 可加入正则项防止过拟合，如L1、L2正则化 |
六、总结
梯度下降法是一种基于梯度信息进行参数优化的算法，通过不断沿着负梯度方向调整参数，逐步逼近目标函数的最小值。不同类型的梯度下降方法适用于不同的场景，合理选择算法和参数对模型性能至关重要。理解其原理有助于在实际应用中更好地调参和优化模型效果。