【求极限lim的常用公式有哪些】在数学分析中，求极限是微积分的重要基础内容之一。掌握一些常用的极限公式，能够帮助我们更高效地解决各种极限问题。以下是对常见极限公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、基本极限公式
| 公式 | 说明 | 适用范围 |
| $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数函数的极限等于常数本身 | $c$ 为常数 |
| $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋于某一点时，其极限即为该点值 | $a$ 为实数 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数中的重要极限 | $x \to 0$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限 | $x \to 0$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限 | $x \to 0$ |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 数学常数 $e$ 的定义 | $x \to \infty$ |
二、无穷小与无穷大的比较
| 极限表达式 | 结果 | 说明 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ | 不存在（趋向正负无穷） | 取决于趋近方向 |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ | 0 | 无穷大倒数为零 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2} = \infty$ | 正无穷 | 分子比分母高阶无穷小 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ | 1 | 等价无穷小替换 |
三、多项式与有理函数的极限
| 极限表达式 | 说明 | 适用情况 |
| $\lim_{x \to a} \frac{P(x)}{Q(x)}$ | 若 $Q(a) \neq 0$，则直接代入计算 | $P(x), Q(x)$ 为多项式 |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)}$ | 由最高次项决定 | 若次数相同，则为系数比；若分子次数高，则为无穷大；反之为零 |
| $\lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = n a^{n-1}$ | 导数定义的极限形式 | $n$ 为整数 |
四、指数与对数函数极限
| 公式 | 说明 | 适用范围 |
| $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$ | 定义 $e$ 的另一种方式 | $x \to 0$ |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$ | 广义形式 | $a$ 为常数 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ | 指数函数的导数 | $a > 0, a \neq 1$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1 + x)}{x} = \frac{1}{\ln a}$ | 对数函数的导数 | $a > 0, a \neq 1$ |
五、洛必达法则适用条件（适用于不定型）
| 不定型 | 使用洛必达法则的条件 | 举例 |
| $\frac{0}{0}$ | $f(x) \to 0$, $g(x) \to 0$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ |
| $\frac{\infty}{\infty}$ | $f(x) \to \infty$, $g(x) \to \infty$ | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ |
| $0 \cdot \infty$ | 需转换为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ | $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ |
| $\infty - \infty$ | 需化简为可应用的形式 | $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x}\right)$ |
总结
求极限的过程中，灵活运用这些常用公式和方法，可以大大简化运算过程。对于初学者来说，熟悉这些基础公式并结合实际题目练习，是提高解题能力的关键。同时，注意极限的定义域和极限存在的条件，避免出现错误判断。
希望本文能为你的学习提供帮助！